你好，我是月晖。

在第一次使用洛必达法则求极限整整三年后，我在昨天的数学课上终于学到了洛必达法则的证明。当今，无论中国还是外国，微积分/数分教材都是先讲柯西中值定理，然后都利用柯西中值定理来证明。

但这就引出来一个问题：柯西出生时洛必达都死了八十多年了，他总不可能是用柯西提出的东西证明的吧？

当然，洛必达法则也不是洛必达自己证明的。它由约翰·伯努利首先发现，洛必达提出每年给他300法郎（在17世纪末那是一大笔资助了）换得冠名权。由于这个法则太有名了，后续只要学微积分要求导就不得不用，所以伯努利在几十年后还挺后悔，多次强调自己才是发现者，可惜没有什么人在意。

但是，说回来，伯努利跟洛必达是同时代的人，他死的时候距离柯西出生也还有四十年，他也不可能用柯西中值定理证明。那他又是怎么证的呢？

Wikipedia上，Guillaume de l’Hôpital词条的内容

于是我查了一些资料，然后发现这个法则原始的证明要简单粗暴得多，简单粗暴到了已经很不严谨的地步。

当时莱布尼茨已经给出微分的概念，也就是dy=f'(x)dx。这个是有的。

所以，当时的证明就是下面这样。简单地说，就是把微分的那个dx在分子分母上一起约掉，然后就有f'(x)dx/g'(x)dx=f'(x)/g'(x)，以0/0型的极限为例：

在微积分体系刚刚确立，还没有被规范化的17世纪，这个证明是可以的，由于它太好用了所以人们也就立刻开始用；但，等到柯西生活的19世纪，这种证法就显得不够严谨了。比如说，导数不连续的情况这种证法就没有说明。

所以，如今教的都是柯西中值定理的证明版本，形式上看起来是“倒果为因”，然而柯西中值定理可以不依赖洛必达法则独立证明，保全了整个体系的严谨性。

PS：

除了以后高考我可能会写我做数学题之外，再也不在公众号平台写数学了！输入太痛苦了，只能截图才行。